В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AC и BC проведены высота BH и медиана AM, которые пересекаются в точке P. Определите длину стороны aB, если известно, что AP=5, PM=10.

Дан равнобедренный ΔАСВ: С - вершина, боковые стороны АС=СВ На продолжении медианы АМ за точку М отложим отрезок МК, равный АМ. АМ=МК=15, РК=РМ+МК=10+15=25  Полученный четырехугольник АСКВ-параллелограмм, т.к. его диагонали АК иВС точкой пересечения М делятся пополам (ВМ=МС и АМ=МК). Пусть АС=СВ=ВК=х, тогда  ΔАРН подобен ΔВРК по двум углам (угол АРН=углу ВРК, угол АНР=ВРК=90), тогда АР/РК=5/25=1/5 и АН/ВК=НР/РВ=1/5 Отсюда АН=ВК/5=х/5 Из прямоугольного ΔВРК  РВ²=РК²-ВК²=25²-х²=625-х² РВ=√(625-х²) Т.к. НР/РВ=1/5, НР=РВ/5=1/5√(625-х²) НВ=РВ+НР=√(625-х²)+1/5√(625-х²)=6/5√(625-х²) Из прямоугольного ΔАВН   АВ²=НВ²+АН²=(6/5√(625-х²))²+х²/25=(36(625-х²)+х²)/25   В параллелограмме D²+d²=2(a²+b²), значит  АК²+СВ²=2(АС²+АВ²) или АК²+АС²=2АС²+2АВ²  30²=АС²+2АВ²,   АВ²=(30²-х²)/2=(900-х²)/2 Приравниваем АВ²: (36(625-х²)+х²)/25=(900-х²)/2 2(36(625-х²)+х²)=25(900-х²) 45000-72х²+2х²=22500-25х² 22500=45х² х²=500 тогда АВ²=(900-х²)/2=(900-500)/2=200 АВ=√200=10√2