В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 12 см, боковая сторона трапеции равна 25 см. Найдите площадь трапеции.!

Обозначим трапецию через ABCD, где АD - длинное нижнее основание, ВС - короткое верхнее. Кроме того, обозначим через М середину нижнего основания АD, через N середину верхнего основания ВС, а через Е - точку касания окружности с боковой стороной АВ. Окружность касается верхнего и нижнего оснований в точках N и М.  Высота трапеции равна 24 (диаметру окружности).  Опустим из точки В перпендикуляр ВР на AD. Длина его тоже равна 24. Соответственно, по теореме Пифагора АР = sqrt(25^2 - 24^2) = 7.  Далее, AP = AM и BP = BN. Следовательно,  AP + BP = AM + BN,  или АВ = 25 = AM + BN. Но АМ = AP + PM = 7 + BN, поэтому 25 = 7 + 2 * BN, откуда BN = 9. Итак, имеем BC = 2 * BN = 18,  AD = 2 * AM = 2 * (7 + 9) = 32,  и площадь трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту:  S = (32 + 18) * 24 / 2 = 600 см^2