В ромб с острым углом 45 градусов вписана окружность радиуса 2 . Произведение диагоналей ромба равно

Высота ромба равна h = 4 — диаметру вписанной окружности. Пусть сторона ромба a. Найдём площадь несколькими способами. Площадь (любого параллелограмма, в том числе ромба) равна произведению двух сторон на синус угла, т. е. S = a² sin 45°. Площадь (любого параллелограмма, в том числе ромба) равна произведению стороны на опущенную на неё высоту: S = ah = 4a. Следовательно, 4a = a²/√2, откуда a = 4√2, S = 4a = 16√2. Площадь (любого четырёхугольника) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. В случае ромба угол между диагоналей прямой, синус равен 1. Поэтому S = ½ d₁ d₂ = 16√2. Произведение диагоналей равно 32√2.