В ромб вписана окружность радиуса r. Найдите площадь ромба,если его большая диагональ равна 4r

Формула радиуса вписанной окружности в ромб r=D*d/4a,   r=4r*d/4a, d/a=1. d=a  где a - сторона ромба, D, d - диагонали. Сторона ромба по т. Пифогора равна а²=D²/4+d²/4  подставим d²=D²/4+d²/4 , D²/4=3d²/4. D²=3d². d=D/√3 =4r/√3 Площадь ромба S=D*d/2=4r*4r/2√3=8r²/√3

Для нахождения высоты: h = 2r Значит высота будет 2r Определим углы ромба, чтобы найти сторону [latex]sin \alpha = \frac{h}{d} = \frac{2r}{4r} = \frac{1}{2} \\ \alpha =30[/latex] Так как 30 градусов это половина значит угло ромба будет 2*30=60градусов Определяем сторону ромба По т. Пифагора [latex]a= \frac{h}{sin60} = \frac{2r}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{4r}{ \sqrt{3} } = \frac{4 \sqrt{3}r }{3} [/latex] Определяем площадь ромба [latex]S = a*h = \frac{4 \sqrt{3} r}{3} *2r= \frac{8 \sqrt{3}r^2 }{3} [/latex] Ответ: [latex]\frac{8 \sqrt{3}r^2 }{3}[/latex].