В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 48 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90∘ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD , если AB=3 .

Продлим стороны AB и CD до пересечения друг с другом. Рассмотрим треугольник AED. По теореме о сумме углов треугольника: 180°=∠EDA+∠DAE+∠AED 180°=90°+∠AED ∠AED=90° Следовательно треугольник AED - прямоугольный. Рассмотрим треугольники AED и BEC. ∠AED - общий ∠EBC=∠EAD (т.к. это соответственные углы) Треугольники AED и BEC подобны (по первому признаку подобия треугольников). Тогда по определению подобия: AD/BC=AE/BE AD/BC=(AB+BE)/BE 48/3=(3+BE)/BE 16BE=3+BE 15BE=3 BE=1/5=0,2 Точка F - точка касания прямой CD и окружности. По теореме о касательной и секущей: EF2=BE*AE=BE*(AB+BE)=0,2(3+0,2)=0,64 EF=0,8 Рассмотрим треугольник BOK. О - центр окружности OB - радиус окружности OK - серединный перпендикуляр к хорде AB ( третье свойство хорды) OK=EF (т.к. KEFO - прямоугольник) KB=AB/2 (т.к. OK - серединный перпендикуляр) По теореме Пифагора: OB2=OK2+KB2 OB2=0,82+(3/2)2 OB2=0,64+2,25=2,89 OB=1,7 Ответ: R=1,7