В трапеции АВСD с основаниями ВС и АD диагонали пресекаются в точке О. Площади треугольников BOC и AOD равны S1 и S2. Найти площадь трапеции.

[latex]\sqrt{S_1/S_2}=OC/AO=S_{OCD}/S_2[/latex] Здесь первое равенство т.к. треугольники BOC и AOD подобны и их площади относятся как квадрат коэффициента подобия. Второе равенство верно, т.к. треугольники OCD и AOD имеют общую высоту и основания ОС и АО. Значит [latex]S_{OCD}=\sqrt{S_1S_2}[/latex]. Аналогично [latex]S_{OAB}=\sqrt{S_1S_2}[/latex]. Итак, [latex]S_{ABCD}=S_1+S_2+2\sqrt{S_1S_2}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2[/latex].