В трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность.BC=12,AD=16.Найти диаметр окружности,если CD=15.

Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны: AD + BC = AB + CD Поэтому AB = AD + BC - CD = 16 + 12 - 15 = 13 Опустим перпендикуляры из точек B и C (см. рисунок). Заметим, что так как у ABCD - трапеция и AD, BC - основания, то полученные высоты равны между собой, обозначим их длину за h. Диаметр вписанной окружности также равен h. Пусть [latex]AH_B = x[/latex]. Тогда [latex]AH_C = 12-x[/latex], так как [latex]BH_BH_CC[/latex] - по построению прямоугольник. AD = 16, поэтому [latex]H_CD=AD-AH_C=4+x[/latex]. Треугольники [latex]ABH_B[/latex], [latex]CDH_C[/latex] прямоугольные, запишем для них теорему Пифагора: [latex]\begin{cases}13^2=h^2+x^2\\15^2=h^2+(4+x)^2\end{cases}[/latex] [latex]h^2=13^2-x^2=15^2-(4+x)^2[/latex] Находим из последнего равенства x: [latex]13^2-x^2=15^2-(4+x)^2\\13^2-x^2=15^2-4^2-8x-x^2\\8x=15^2-13^2-4^2=40\\x=5[/latex] Итак, x = 5, тогда [latex]h^2=13^2-x^2=13^2-5^2=12^2\\ \boxed{h=12}[/latex] Ответ. 12