В треугольник с периметром, равным 20 см, вписана окружность. Отрезок касательной, проведенной к окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, содержит 2,4 см. Найти основание треугольника.

Если стороны BC = а (считаем эту сторону основанием), AC = b и AB = c, то периметр равен 2*p = (a + b +c); Отрезок PQ = t = 2,4; точка Р на стороне b, Q на стороне c. Точки касания вписанной окружности стороны ВС - точка M, стороны АС - точка К, стороны АВ - точка Е. Точка касания вписанной окружности отрезком PQ - точка Т. Если обозначить отрезки от вершин до точек касания ВЕ = ВМ = x, СК = СМ = y и АК = АЕ = z, то a = x + y; b = x + z; c = y + z; Периметр меньшего треугольника (который отсечен заданным отрезком касательной) равен 2*z, поскольку РК = РТ; и QE = QT.  Отсюда легко видеть, что ПОЛУпериметр отсеченного треугольника равен p - a; (по условию, р = 10) Поскольку эти треугольники подобны (исходный и отсеченный отрезком касательной), то ПОЛУпериметры относятся так же как стороны, и (p - a)/p = t/a;  (10 - a)/10 = 2,4/a; это легко привести к виду a^2 - 10*a + 24 = 0;  a = 4 или 6. Получилось 2 решения. :(