В треугольник со стороной а и высотой h, проведенной к этой стороне, вписан прямоугольник таким образом что одна из его сторон содержится стороной а треугольника. найдите максимальную площадь прямоугольника. это надо сделать с ...

[latex] S_{Δ} [/latex] = [latex] \frac{ah}{2} [/latex] пусть х = длина прямоугольника, лежащая на стороне треугольника          у = высота прямоугольника Прямоугольник разбивает треугольник на 3 треугольника и прямоугольник. Поэтому можно площадь собрать из площадей этих фигур. [latex] S_{Δ} [/latex] = xy + [latex] \frac{x(h-y)}{2} + \frac{(a-x)y}{2} [/latex] = [latex] \frac{xh +ay}{2} [/latex] если приравнять обе площади, то получим равнство ah = xh + ay  ⇒  [latex]x = \frac{a(h-y)}{h} [/latex] Тогда площадь прямоугольника S = xy S = [latex] \frac{a}{h} (h-y)y[/latex] S ' = [latex] \frac{a}{h} (h-2y)[/latex] S ' = 0  [latex] \frac{a}{h} (h-2y)=0 [/latex]  ⇒ y = h/2  точка максимума S(h/2) = [latex] \frac{a}{h} (h- \frac{h}{2} )* \frac{h}{2} = \frac{ah}{4} [/latex] Это и есть наибольшее значение площади