В треугольнике ABC бессектриса угла А делит высоту , проведённую из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности , описанной около треугольника АВС, если ВС=10.

Чтобы решить задачку надо вспомнить расширенную теорему синусов. В данном случае, так как известна сторона ВС, то лучше воспользоваться стороной ВС и углом ВАС. Синус этого угла предстоит вычислить.   [latex]2R=\frac{BC}{\sin\angle BAC}[/latex]   [latex]2R=\frac{10}{\sin\angle BAC}[/latex]   [latex]R=\frac{5}{\sin\angle BAC}\quad(1)[/latex]   Пусть ВН - высота, проведенная к стороне АС. АК - биссектриса угла ВАС, где К - точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Точка О - пересечение высоты ВН и биссектрисы АК. Тогда по свойству биссектрисы, делящей ВН в отношении ВО:ОН=12:13, из прямоугольного треугольника АВН стороны АВ и АН относятся так же друг к другу. АВ:АН=13:12.   Заметим,  что косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае [latex]\cos\angle BAH=\frac{AH}{AB}[/latex]   Нетрудно догадаться, что АН:АВ=12:13.   [latex]\cos\angle BAH=\frac{12}{13}[/latex]   По основному тригонометрическому тождеству [latex]\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\cos^2\angle BAH}[/latex]   [latex]\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}[/latex]   [latex]\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\frac{144}{169}}[/latex]   [latex]\sin\angle BAH=\pm\sqrt{\frac{169-144}{169}}[/latex]   [latex]\sin\angle BAH=\pm\sqrt{\frac{25}{169}}[/latex]   [latex]\sin\angle BAH=\pm\frac{5}{13}}[/latex]   Заметим, что   [latex]\sin\angle BAH=\sin\angle BAC[/latex]   Выбираем положительное значение синуса. Так как угол в треугольнике всегда от 0 до 180 градусов. Подставляем в формулу (1). [latex]R=\frac{5}{\frac{5}{13}}[/latex] [latex]R=\frac{5*13}{5}[/latex] R=13.   Ответ: R=13.