В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке О. AO=6√3, а угол BAC=120°. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Дано: АА1, СС1-биссектриссы, АО = [latex]6 \sqrt{3}[/latex], ∠ВАС = 120°. Найти: r = ? Решение:  1) Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с точкой пересечения его биссектрис. О - центр окружности. 2) Из ΔАОС опустим высоту, которая является r окружности. 3) Рассмотрим ΔОНА. Он прямоугольный, потому что ∠Н = 90° sin∠А=ОН/ОА=[latex] \frac{ \sqrt{3}}{2} [/latex]. Пусть х - OH, тогда [latex] \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{6\sqrt{3}} ; [/latex] 2х=[latex] \sqrt{3} * 6\sqrt{3}[/latex]=18 х=ОН=r=9. Ответ: r = 9