В треугольнике ABC на медиане ВМ взято точку К так, что ВК:КМ=1:2.Найдите отношение площади треугольников АВК и АВС.

Медиана ВМ делит Δ АВС на два равновеликих треугольника, т.е. два треугольника с равными площадями ⇒ [latex]S_{ABC}= 2S_{ABM} [/latex]. Из равенства ВК:КМ=1:2 следует, что МК=2КВ или [latex]KB= \frac{1}{3}MB [/latex]. Пусть АЕ - высота в Δ АВМ. Тогда АЕ также и высота в Δ АМК, и в Δ АВК. Распишем площади треугольников: [latex]S_{ABM}= \frac{1}{2}AE*BM;\\ S_{ABK}= \frac{1}{2}AE*BK=\frac{1}{2}AE*\frac{1}{3}BM=\frac{1}{6}AE*BM.[/latex] Отсюда видно, что [latex]S_{ABK}= \frac{1}{3} S_{ABM}[/latex] Тогда интересующее нас отношение равно: [latex] \dfrac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \dfrac{\frac{1}{3} S_{ABM}}{2S_{ABM}} = \dfrac{1}{6} [/latex] Ответ: 1:6.