В треугольнике ABC окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной ВС. Докажите, что AC + AB = 3BC.

По свойству средней линии треугольника:  [latex]MN= \frac{BC}{2} [/latex] Далее рассмотрим четырехугольник BMNC: Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Получаем: [latex]BM+NC=MN+BC[/latex] Т.к. MN- средняя линия, то: AB=BM+MA=2BM и AC=AN+NC=2NC Запишем: AC+AB=2BM+2NC=2(BM+NC)=2(MN+BC)=2([latex] \frac{BC}{2} [/latex]+BC)= 2*[latex] \frac{3BC}{2} [/latex] = 3BC ч.т.д