В треугольнике АВС проведены биссектриса AD и медиана BK. Из точек D и K опущены перпендикуляры DM и KN на сторону АВ. Известно, что АМ:МВ=9:1, AN:NB=2:3. Найти отношение AD:BK

Такое слегка туповатое решение, мне оно не очень нравится с эстетической точки зрения. O - точка пересечения AD и BK, CH - высота к AB.  Ясно, что MD II CH II KN; Поэтому AN/NH = AK/KC = 1; AN = NH = AB*2/5;  Получилось AH = AB*4/5; следовательно BH = AB/5; Из условия следует, что BM = AB/10; то есть BM/BH = 1/2; BM = MH; но BM/MH = BD/CD; то есть BD = CD; Это означает (не больше, не меньше), что треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC; и AD - не только биссектриса, но и медиана, и высота. Это не все чудеса этой задачи. Далее. DM - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ABD. При этом BM = AB/10; AM= AB*9/10; откуда DM^2 = BM*AM = (AB^2)*9/100; DM = AB*3/10 = 3*BM; Прямоугольные треугольники BMD и ABD подобны. Поэтому AD = 3*BD;  Поскольку O - точка пересечения медиан, то DO = AD/3 = BD; это второе, и последнее чудо - прямоугольный треугольник OBD равнобедренный.  Это означает, что OD/OB = 1/√2; c учетом того, что OD = AD/3; BO = BK*2/3; получается AD/BK = √2;