В треугольнике АВС проведены высоты АР и ВН. Доказать что АР=ВН, если РС=НС

Рассмотрим ∆CHP. CH = PC => ∆CHP - равнобедренный. Значит, ∠CPH = ∠CHP - как углы при основании. Обозначим ∠CPH за x. Тогда ∠PHL = 90° - x (т.к. ∠LHC = 90°). ∠LPH = 90° - ∠CHP = 90° - x (L - точка пересечения высот). Тогда ∠LPH = ∠LHP => ∆LHP - равнобедренный. Тогда LH = LP. ∠BPA = 90° + ∠LPH = 180° - x. ∠BHA = 90° + ∠LHP = 180° - x. Тогда ∠BPA = ∠BHA. Рассмотрим ∆ALH и ∆BLP. PL = LH ∠BPL = ∠AHL ∠BLP = ∠AH - как вертикальные. Значит, ∆BLP = ∆ALH - по II признаку. Из равенства треугольников => BL = LA. BH = BL + LH AP = AL + LP LP = LH Значит, BH = AP.