В треугольнике АВС со сторонами АВ=5 см, ВС=8см, АС=9см вписан окружность , касающая стороны Ас к точке К. Найдите расстояние от точки К до точки М биссектрисы ВМ.

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения О биссектрис этого треугольника. Касательная АС к окружности перпендикулярна к радиусу ОК, проведенному в точку касания К. Полупериметр ΔАВС р=(АВ+ВС+АС)/2=(5+8+9)/2=11 Площадь по ф.Герона S=√11(11-5)(11-8)(11-9)=6√11 Высота АВС ВН=2S/AC=2*6√11/9=4√11/3 Из прямоугольного ΔАВН АН=√АВ²-ВН²=√(25-176/9)=√49/9=7/3 Расстояние от К до прямой ВМ - это перпендикуляр ОК. Значит прямоугольные ΔВНМ и ОКМ подобны по 2 углам (угол М - общий, углы ВНМ и ОКМ -прямые) ВН/ОК=НМ/КМ КМ=ОК*НМ/ВН Радиус ОК=S/p=6√11/11=6/√11 По свойству биссектрисы АВ/АМ=ВС/МС АМ=АВ*МС/ВС=5МС/8 АС=АМ+МС=5МС/8+МС=13МС/8 МС=8АС/13=8*9/13=72/13 АС=АН+НМ+МС=7/3+НМ+72/13=307/39+НМ НМ=9-307/39=44/39 Итого КМ=6/√11*44/39 / 4√11/3=6/13