В треугольнике две высоты равны 12 и 20. Найдите максимальное возможное целое значение длины третьей высоты.

Увы, я поторопился :))) Было выложено такое решение. 2*S = a*12 = b*20 = c*h; b = (3/5)*a; минимальное значение c = a - b = (2/5)*a; откуда максимальное значение h = = (5/2)*12 = 30; но Это не может быть ответом, потому что при c = a - b; S = 0; и соотношения типа 2*S = a*12 = b*20 теряют смысл. Однако значение h = 29 может быть реализовано. При этом треугольник будет подобен треугольнику со сторонами 1, 3/5, 12/29; и надо просто так подобрать коэффициент подобия, чтобы высота к стороне, которая соответствует 1, равнялась бы 12. Вычислять этот коэффициент нет смысла, потому что вопрос в задаче - найти максимальное ЦЕЛОЕ значение h, а следующее ЦЕЛОЕ значение - 30.

  пусть высота равна [latex]x[/latex], стороны [latex]a;b;c[/latex]  [latex] 12a=20b=x*c \\ \frac{12a}{x} ; \frac{12a}{20} ; a[/latex]  По теореме косинусов    [latex]a^2 + \frac{144*a^2}{400 }- \fac{24*a^2}{20} * cosa = \frac{144*a^2}{x^2}\\ cosa= \frac{17}{15} - \frac{120}{x^2}[/latex]     теперь чем острее угол тем больше высота   [latex]\frac{17}{15} - \frac{120}{x^2}=1\\ x=30[/latex]    значит  он будет равен [latex]29[/latex]   при этом , угол будет примерно равен [latex] 7а[/latex]