В выпуклом четырехугольнике ABCD каждая из диагоналей AC и BD имеет длину 2√5. Точки M,N,P,Q - середины сторон AB,BC,CD,AD соответственно. Найти площадь четырехугольника ABCD, если MP+NQ=6 

 Четырехугольник [latex] MNPQ[/latex] параллелограмм. Параллелограмм  [latex] MNPQ[/latex] составляет половину площади   четырехугольника  [latex] ABCD[/latex] .  Положим что стороны параллелограмма    [latex] a[/latex] , [latex] b[/latex].Периметр параллелограмма равен сумме диагоналей [latex] a+b = 2\sqrt{5}[/latex] Положим что диагонали равны     [latex] x;y[/latex], [latex] x+y=6[/latex]   В параллелограмме  [latex] x^2+y^2=2(a^2+b^2)[/latex]       Угол между диагоналями параллелограмма  ромба  [latex] a[/latex] ,  [latex] 90а[/latex] \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}-\frac{xy*cos90а}{2}=a^2[/latex]   [latex] a=b=\sqrt{5}[/latex]  [latex] x=2 \ y=4 [/latex]\\\\  [latex] S=2*4=8[/latex]

MNPQ - параллелограмм. Smnpq = 0,5*Sabcd. (это известно и доказывать не надо?) MN - средняя линия треугольника АВС и равна 0,5*АС. NP - средняя линия тр-ка ВСD и равна 0,5*BD. Но АС=ВD=2√5(дано). То есть MNPQ - ромб со сторонами, равными √5. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Сумма диагоналей этого ромба равна 6 (дано). Значит их полусумма равна 3. Пусть половины диагоналей равны d1 и D1. По Пифагору в любом из прямоугольных треугольников, образованных половинами диагоналей и стороной ромба имеем: (√5)²=d1²+D1² или 5=(3-D1)²+D1². Имеем квадратное уравнение: D1²-3*D1+2=0, имеющее два корня: D1=2 и D1=1. То есть диагонали ромба MNPQ равны 4 и 2. Но тогда площадь этого ромба равна половине произведения диагоналей: Smnpq = (1/2)*D*d = 4. Отсюда искомая площадь Sabcd = 2*Smnpq = 8. Ответ: Sabcd = 8.