В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AD и CD взяты точки М и N, такие, что каждая из прямых СМ и AN делит ABCD на две фигуры равных площадей. а) Докажите, что AC || MN. б) Найдите отношение площадей четырёхугольников AB...
В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AD и CD взяты точки М и N, такие, что каждая из прямых СМ и AN делит ABCD на две фигуры равных площадей.
а) Докажите, что AC || MN.
б) Найдите отношение площадей четырёхугольников ABCD и ABC О, где О — точка пересечения BD и MN.
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость1) [latex]S_{ANM}=S_{AND}-S_{MND}[/latex],
[latex]S_{CMN}=S_{CMD}-S_{MND} [/latex].
Но [latex]S_{AND}=S_{CMD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}[/latex], поэтому [latex]S_{ANM}=S_{CMN}[/latex], а т.к. у них общее основание MN, то их высоты, опущенные на МN равны, и значит AC||MN.
2) [latex]S_{ABCO}=S_{ABC}+S_{ACO}[/latex].
[latex]S_{ACO}=S_{ACM}[/latex] т.к. у них общее основание AC и равные высоты, т.к. по п.1 доказали, что AC||MN. Значит
[latex]S_{ABCO}=S_{ABC}+S_{ACM}=S_{ABCM}=\frac{1}{2}S_{ABCD}[/latex]. Т.е. искомое отношение площадей равно 2.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы