Вероятность того, что стрелок не попал в мишень при одном выстреле, равна 0,4. Сделано 10 выстрелов. Найти вероятность того, что: а) 7 пуль попали в цель; б) хотя бы одна пуля попала в цель; в) не менее восьми пуль попали в цель.

Если выражаться строго математически, то мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли со следующими вероятностями событий: p = P(попадание)=1 - P(промах) = 1 - 0,4 = 0,6 q = P(промах) = 0,4 В рамках данной модели испытаний вероятность успешного события [latex]A_k[/latex] (т.е. вероятность того, что произойдёт в точности [latex]k[/latex] успехов из [latex]n[/latex]), подчиняется биномиальному распределению: [latex] P(A_k) = C_n^k p^k \cdot q^{n-k}[/latex], где символ [latex]C_n^k[/latex] означает число способов выбрать из [latex]n[/latex] элементов [latex]k[/latex] элементов без учёта порядка. Известно, что [latex]C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}[/latex]. а) Вероятность того, что ровно 7 пуль из 10 попали в цель, составляет [latex]P(A_7) = C_{10}^7 p^7 \cdot q^{10-7} = \frac{10!}{7! 3!} 0,6^7 \cdot 0,4^3 \approx 0,215[/latex] б) Для того, чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, нужно понимать, что множество всевозможных событий [latex]\Omega[/latex]  состоит из двух непересекающихся множеств-альтернатив: [latex]A[/latex] - есть хотя бы одно попадание; [latex]\overline{A}[/latex] - нет ни одного попадания. Из определения вероятности (как числовой функции множеств) немедленно следует, что [latex]1 = P(\Omega) = P(A + \overline{A}) = P(A) + P(\overline{A})[/latex], поэтому интересующая нас вероятность выражается следующим равенством: [latex]P(A) = 1 - P(\overline{A})[/latex]. Теперь осталось лишь найти вероятность непопадания [latex]P(\overline{A})[/latex]. Можно действовать по общей формуле вероятностей в схеме испытания Бернулли (и получить тот же самый результат!), но в данном случае ситуация упрощается, если напрямую воспользоваться независимостью испытаний: вероятность непопадания в серии из 10 выстрелов равна произведению вероятностей непопадания после 1-го выстрела, после 2-го выстрела и т.д., до 10-го выстрела: [latex]P(\overline{A}) = q^{10} = 0,4^{10} \approx 0,0001[/latex], поэтому вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, равна [latex]P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0,0001 \approx 0,9999 [/latex] в) Событие [latex]A_{8/10}[/latex] "не менее 8-ми пуль попали в цель" является суммой трёх взаимоисключающих событий [latex]A_8[/latex] "ровно 8 из 10 пуль попали в цель", [latex]A_9[/latex] "ровно 9 из 10 пуль попали в цель" и [latex]A_{10}[/latex] "ровно 10 из 10 пуль попали в цель", поэтому искомая вероятность равна: [latex] P(A_{8/10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = C_{10}^{8}p^8 \cdot q^2 + C_{10}^{9}p^9 \cdot q^1 + C_{10}^{10} p^{10} = 45*(0,6)^8(0,4)^2 + 10*(0,6)^9(0,4) + (0,6)^10 \approx 0,167 [/latex] Ответ: а) 0,215 б) 0,9999 в) 0,167.