Вершинами четырехугольника ABCD являются точки А(0;0), В (1;2), С(2;0) ,D(1;-2) . докажите , что данный четырехугольник является ромбом 

Докажем сначала, что это параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка О1(х;у) середина АС тогда х=(-6+6)/2=0; у=(1-4)/2=-1,5. Пусть точка О2(х;у) середина BD тогда х=(0+0)/2=0; у=(5-8)/2=-1,5. Значит О1 совпадает с О2 - значит ABCD параллелограмм. О(0;-1,5) - точки пересечения его диагоналей. Докажем что это прямоугольник. Если диагонали параллелограмма равны то он прямоугольник. АС^2=(6+6)^2+(-4-1)^2 АС^2=12^2+(-5)^2 АС^2=144+25 AC^2=169 AC=13 BD^2=(0+0)^2+(-8-5)^2 BD^2=0^2+(-13)^2 BD^2=0+169 BD^2=169 BD=13 AC=BD ABCD - прямоугольник