Висота прямокутного трикутника проведена з вершини прямого кута, дорівнює h, а відстань від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси меншого гострого кута з меншим катетом дорівнює d. Визначити довжину меншого катета й...

Задача составлена некорректно, но вычислить размер меньшего катета можно. По условию d=СM=5, h=CK=7, АС - меньший катет и ∠В - меньший из острых. СК=АС·ВС/АВ ⇒⇒ СК/АС=ВС/АВ. По теореме биссектрис СМ/АМ=ВС/АВ. Объединим два уравнения: СК/АС=СМ/АМ, АС=СК·АМ/СМ=СК·(АС-СМ)/СМ=h(AC-d)/d, d·АС=h·АС-dh, AC(h-d)=dh, AC=dh/(h-d)=5·7/(7-5)=17.5, Не похоже, что это меньший из катетов, ведь высота СК=7, а это намного меньше этого катета. Найдём второй катет. АМ=АС-СМ=[dh/(h-d)]-d=d²/(h-d),  Опять, по т. биссектрис СМ/АМ=ВС/АВ, АВ=АМ·ВС/СМ=d·BC/(h-d). По теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС², d²·BC²/(h-d)²=[d²h²/(h-d)²]+BC², (d²·BC²-BC²(h-d)²)/(h-d)²=d²h²/(h-d)², BC²=d²h²/(d²-(h-d)²),    ВС=dh/√(d²-(h-d)²)=5·7/√(5²-(7-5)²)≈7.6, ВС<АС, значит ВС - меньший из катетов. Ответ: 7.6