Внутри квадрата ABCD со стороной 1 произвольным образом выбирается точка M. Найдите наименьшее возможное значение выражения |MA|+|MB|+|MC|+|MD| В качестве ответа укажите квадрат этого числа.

 Выберем произвольно точку  [latex] M [/latex]  тогда по неравенству  треугольников в треугольнике  [latex] MDB[/latex] получим [latex] MD+MB \geq B D \ [/latex]  причем последнее равенство выполняется когда [latex] M[/latex] есть точка пересечения диагоналей , аналогично и для треугольника [latex] AMC [/latex] , получим [latex] MA+MC \geq AC[/latex] суммируя [latex] MD+MB+MA+MC \geq BD+AC[/latex] тогда для того чтобы сумма была минимальной , точка [latex]M[/latex] должна являться точкой пересечения диагоналей  [latex] BD \cap AC \in O[/latex] , то есть [latex] S = MD+MB+MA+MC \geq OM+OC+OB+OA = \\ AC+BD = 2\sqrt{1^2+1^2} = 2\sqrt{2}\\ S^2=8[/latex]