Вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD описана окружность. К - точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Угол ВKС = 60 градусов, АВ = 43, DС = 4. Найти радиус описанной окружности.

[latex]ABCD - [/latex]  выпуклый четырехугольник,  вписанный в окружность [latex]AC[/latex] ∩ [latex]BD=K[/latex] ∠ [latex]BKC=60к[/latex] [latex]AB=43[/latex] [latex]DC=4[/latex] Воспользуемся: Для произвольного треугольника ABC выполняется равенство  [latex] \frac{a}{sinA} =2R,[/latex]  где a - длина стороны, лежащей против угла А, R - радиус описанной окружности.  [latex]1)[/latex] Пусть ∠ [latex]KBC= \alpha [/latex], а ∠ [latex]KCB= \beta [/latex] Рассмотрим Δ [latex]KBC:[/latex] [latex]\ \textless \ BKC+\ \textless \ KBC+\ \textless \ KCB=180к[/latex] [latex]60к+ \alpha + \beta =180к[/latex] [latex] \alpha + \beta =120к[/latex] [latex]2)[/latex] Δ [latex]ABC [/latex] вписан в окружность, тогда  [latex] \frac{AB}{sin \beta }=2R [/latex] [latex] \frac{43}{sin \beta } =2R[/latex] [latex]3)[/latex] Δ [latex]DBC [/latex] вписан в окружность, тогда  [latex] \frac{DC}{sin \alpha } =2R[/latex] [latex] \frac{4}{sin \alpha } =2R[/latex] [latex] \frac{43}{sin \beta }= \frac{4}{sin \alpha } [/latex] [latex] \alpha + \beta =120к[/latex] [latex] \beta =120к- \alpha [/latex] [latex] \frac{43}{sin (120к- \alpha ) }= \frac{4}{sin \alpha } [/latex] [latex]43 sin \alpha =4sin(120к- \alpha )[/latex] [latex]sin (120к- \alpha )=sin 120кcos \alpha -sin \alpha cos120к= \frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha -sin \alpha *(- \frac{1}{2}) [/latex][latex]=\frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha + \frac{1}{2}sin \alpha [/latex] [latex]43sin \alpha =4(\frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha + \frac{1}{2}sin \alpha) [/latex] [latex]43sin \alpha =2\sqrt{3} }cos \alpha +2sin \alpha [/latex] [latex]41sin \alpha =2\sqrt{3} }cos \alpha [/latex] [latex](41sin \alpha)^2 =(2\sqrt{3} }cos \alpha)^2 [/latex] [latex]1681sin^2 \alpha =12cos^2 \alpha [/latex] [latex]1681sin^2 \alpha =12(1-sin^2 \alpha) [/latex] [latex]1681sin^2 \alpha =12-12sin^2 \alpha[/latex] [latex]1693sin^2 \alpha =12[/latex] [latex]sin^2 \alpha = \frac{12}{1693} [/latex] [latex]sin \alpha = \sqrt{ \frac{12}{1693} } [/latex] [latex]4)[/latex] [latex] \frac{4}{sin \alpha } =2R[/latex] [latex] \frac{4}{ \sqrt{ \frac{12}{1693} } } =2R[/latex] [latex] \frac{4}{ \frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{1693} } } =2R[/latex] [latex] \frac{2 \sqrt{1693} }{{ \sqrt{3} } } =2R[/latex] [latex] \frac{ \sqrt{1693} }{{ \sqrt{3} } } =R[/latex] [latex]R= \sqrt{ \frac{1693}{3} } [/latex]