Возраст мужчины составляет двухзначное число , а возраст сына составляет сумм цифр этого числа . Вместе, отцу и сыну сейчас 67 лет , сколько лет сыну ?

Пусть х - число десятков , а у - число единиц в возрасте мужчины. Его возраст (10х + у), а возраст его сына равен (х + у). Составляем уравнение: (10х + у) + (х + у) = 67 9х + 2(х + у) = 67 х + у = 0,5(67 - 9х)  -возраст сына. Наложим ограничения: 1) х<10 2) х -не должно быть чётным числом, иначе х + у  будет нецелым 3) у<10. Из х + у = 0,5(67 - 9х) получим у = 0,5(67 - 9х) - х = 0,5((67 - 9х - 2х) = 0,5((67 - 11х) решим неравенство 0,5((67 - 11х) < 10 67 - 11х < 20 11х > 47 х > 4,27,  С учётом того, что х -целое положительное число, имеем х > 4 4) х+ у > х - это очевидно, поэтому справедливо неравенство 0,5(67 - 9х) > х 67 - 9х > 2х 11х < 67 х < 6,09 т.е. х < 6 В границах х∈(4;6) есть только одноцелое число х = 5. Тогда у = 0,5((67 - 11·5) =  6 И возраст сына х + у = 5 + 6 = 11 Ну, и заодно: возраст отца 56 лет Ответ: сыну 11 лет

Довольно интересная задача, которая наверняка имеет множество решений, постараюсь поподробнее изложить своё. Итак, возраст отца определяется двузначным числом a1a0, где a1 и a0 - цифры данного числа. Представим данное число в виде разложения на слагаемые, по формуле перевода чисел в десятичную систему счисления: a1a0 = a0 * 10^0 + a1 * 10^1 = a0 + 10a1. Суммарный возраст отца и сына равен 67, запишем это в виде уравнения с двумя неизвестными: a0 + a1 + a0 + 10a1 = 67 2a0 + 11a1 = 67, мы получили диофантово уравнение, которое требуется решить в натуральных числах, так как возраст - величина положительная. Решим с использованием следующей системы неравенств: [latex]\left \{ {{67 - 11a1 > 0} \atop {67 - 2a0 > 0}} \right.[/latex] Решая получаем, что a1 < 6, а a0 < 33. Интервал значений a0 слишком велик, поэтому будет отталкиваться от значений a1. Теперь дело остаётся за банальным перебором: Если a1 = 1, то возраст отца равен 128, что невозможно. Если a1 = 2, то уравнение 2a0 + 11a1 = 67 в решении не нуждается, так как при подстановке получим, что сумма чётных чисел равна числу нечётному, что невозможно. Впредь будем рассматривать только те значения a1, которые не кратны двум. Если a1 = 3, то возраст отца равен 317, что невозможно. Значение 4 кратно 2, а значит заранее не подходит. В итоге мы пришли к единственному оставшемуся значению - это 5, оно и будет решением данного уравнения, проверим это. 2a0 + 55 = 67 2a0 = 12 a0 = 6 Возраст отца равен 56, тогда возраст сына - 11. Искомый ответ: 11.