Все боковые грани правильной треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти обьём пирамиды, если сторона сонования равна 12 см.

Опускаем высоту пирамиды (т.к. все грани наклонены под одним углом к плоскости основания, то она упадёт в центр треугольника О). Основание - правильный треугольник со стороной 12, поэтому медина АН (которая совпадает с высотой и поэтому просчитывается через теорему Пифагора) равна [latex]6\sqrt3[/latex]. Основанием высоты пирамиды О АН делится в отношении 2:1 (центр правильного треугольника), поэтому ОН=[latex]2\sqrt3[/latex]. Если вершина пирамиды S, то SO лежит в прямоугольном треугольнике SOH против угла в 60 градусов, а ОН=[latex]2\sqrt3[/latex], т.е. tg60=SO/OH, SO=OH*tg60=[latex]2\sqrt3*\sqrt3=6[/latex]. Площадь основания равна [latex]S=12*\sqrt3/4=3\sqrt3[/latex] (площадь правильного треугольника). Объём равен  [latex]V=Sh/3=S*SO/3=3\sqrt3*6/3=6\sqrt3[/latex]

V= sh/3=s*so/3=3v3*6/3=6v3