Все стороны четырехугольника ABCD различны по длине. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M, а N - середина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD. Какие значения может принимать отношение DM : DN ?

Воспользуемся методом координат. Поставим центр СК в точку D и направим ось X по DC, а ось Y по DA. Система координат не является прямоугольной декартовой. Обозначим AB=a, BC =b , CD = c , AD =d. Имеем координаты точек: D (0;0)  A (0;d)  C (c;0) , а координаты точки B мы не знаем. Обозначим их как b*x и b*y, где b - длина отрезка BC. Имеем далее координаты точки Q (0;d/2) - середина DA и P ((c+b*x)/2;b*y/2) - середина BC. Середина отрезка PQ - точка N по условию. Её координаты N ((c+b*x)/4; (d+b*y)/4) Далее находим координаты точки G - середина отрезка AC. В этой точке медиана, выходящая из вершины B, пересекает сторону AC. G (c/2;d/2) Известно, что точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1. Тогда координаты точки М равны М = G+(B-G)/3 = ((b*x+c)/3;(b*y+d)/3) откуда DM=L/3 , DN = L/4, где L=bx+c, by+d