Все стороны трапеции выражаются целыми числами, одна из её диагоналей равна 12. Найдите боковые стороны и площадь трапеции, если её основания равны 8 и 18.

   Пусть наша трапеция  [latex] ABCD[/latex] , боковые стороны которые [latex] AB;CD[/latex] , обозначим их как соответственно  [latex]n,m[/latex] , пусть     [latex] x;y[/latex] отрезки другой диагонали , и пусть [latex]u;v[/latex] отрезки диагонали [latex]12[/latex] ,из  подобия треугольников  [latex]BOC;AOD[/latex] [latex]O[/latex] пересечения диагоналей , получим   [latex] \frac{u}{v}=\frac{8}{18}\\ \frac{u}{12-u}=\frac{4}{9} \\ u=\frac{48}{13}\\ v=\frac{108}{13}[/latex]  По неравенству треугольников  [latex]x+\frac{48}{13}>8\\ x+8>\frac{48}{13}\\ 8+\frac{48}{13}>x[/latex] получим что [latex] x \in [5;11][/latex]   а для  [latex]AOB[/latex] [latex]n \in [5;8][/latex] , то есть всего 4 значения    но для [latex]n=5;6[/latex] не подходит так как    [latex]x^2+\frac{48}{13}^2-2*x*\frac{48}{13}*cosBOC=8^2\\ x^2+\frac{108}{13}^2-2*x*\frac{108}{13}*-cosBOC=n^2[/latex]    когда    [latex]n=5;6[/latex]  [latex]x<0[/latex]   что не подходит , тогда   [latex]n=7;8[/latex] , проверим оба , при   [latex] n=7[/latex]  , другая часть диагонали  не будет входит в отрезок , по тем же самым причинами что сказано вверху, только для  треугольников  [latex]COD;AOD[/latex], подходит  [latex]n=8[/latex] при этом  [latex]m=12[/latex] что верно по неравенству треугольников      Найдем площадь трапеций  , опустим высоты , и обозначим проекций высота [latex]x;y[/latex]  , по теореме Пифагора   [latex] \sqrt{12^2-x^2}=\sqrt{8^2-y^2}\\ x+y=10\\\\ x=1\\ y=9[/latex]    Высота трапеций равна [latex] h=\sqrt{144-81}=\sqrt{63}\\ S=\frac{8+18}{2}*\sqrt{63} = 13\sqrt{63} [/latex]        Боковые стороны равны [latex] 8;12[/latex]   Площадь трапеций равна [latex] 13\sqrt{63}[/latex]