Вводя новые независимые переменные  [latex]\xi = x[/latex] , [latex]\eta=x^2+y^2[/latex] преобразовать уравнение и решить его:[latex]y(\partial z/\partial x)- x(\partial z/\partial y) =0 [/latex] 

[latex]z'_x=z'_\eta\cdot\eta'_x+z'_\xi\cdot\xi'_x=2xz'_\eta+z'_\xi[/latex] [latex]z'_y=z'_\eta\cdot\eta'_y+z'_\xi\cdot\xi'_y=2yz'_\eta[/latex]   [latex]yz'_x- xz'_y =2xyz'_\eta+yz'_\xi-2xyz'_\eta=yz'_\xi=0[/latex] В принципе, y=0 - решение. Поищем другие решения. [latex]z'_\xi=0[/latex] [latex]z=\varphi(\eta)=\varphi(x^2+y^2)[/latex]