Вычислить определенный интеграл от функции e^cx cosωx на отрезке [a,b], где a=[π/ω,  b=π/2ω].   c=4; ω=7 

Интеграл берется двукратным последовательным интегрированием по частям. 1-раз u(x)=e^cx; dv=(cosωx)dx; 2-й раз u1(x)=(c/ω)*e^cx;dv=(sinωx)dx; с последующим упрощением выражения ( приведение подобных членов). Определенный интеграл вычисляется из неопределенного путем вычитания его значения при нижней границе из значения при верхней границе интегрирования.   Ответ в общем виде таков: [latex]\frac{\omega}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/2*\omega}+\frac{c}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/\omega}[/latex]   После подстановки конкретных значений "с" и "омега", имеем:   (4/65)* e^((4/7)*pi)+(7/65)*e^((2/7)*pi) = 0,63475  

Пока займемся вычислением неопр. интеграла: I = [latex]\int{e^{cx}coswx}\, dx\ =\ \frac{1}{c}\int{coswx}\, de^{cx}\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c}\int{e^{cx}sinwx}\, dx\ =\\\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ -\ \frac{w}{c^2}\int{sinwx}\, de^{cx}\ = [/latex] [latex]=\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c^2}e^{cx}sinwx\ -\ \frac{w^2}{c^2}*\ I[/latex] Отсюда находим I: [latex]I\ =\ \frac{e^{cx}(c*coswx+w*sinwx)}{c^2+w^2}[/latex] Подставив значения с и w: [latex]I\ =\ \frac{e^{4x}(4cos7x+7sin7x)}{65}[/latex] Теперь найдем значение интеграла от П/w до П/2w: [latex]I\ =\ \frac{e^{2\pi/7}(7+4e^{2\pi/7})}{65}[/latex]