Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.   [latex]\int\limits^4_1 {\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}} \, dx[/latex]  

Ну для начала возьмем все таки этот интеграл (сначал можно как неопределенный) [latex]\int{\frac{e^\sqrt(x)}{\sqrt(x)}}\, dx=[/latex] {сделаем замену [latex]u=\sqrt{x}, du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx [/latex] } продолжаем вычисление [latex]=2\int{e^u}\, du=2e^u+C[/latex] Теперь вернемся к исходным переменным: [latex]2e^u=2e^{\sqrt{x}}[/latex] Интеграл взяли, теперь вспоминаем формулу Ньютона-Лейбница: [latex]\int\limits^a_b {f(x)} \, dx=F(b)-F(a)[/latex] , где F(x)-какая-либо первообразная от функции f(x). Выше мы нашли первообразную от f(x) и она оказалась равна F[latex]F(x)=2e^{\sqrt{x}}[/latex], константу здесь сделали 0. Ну и теперь получаем  [latex]\int\limits^4_1{\frac{e^\sqrt(x)}{\sqrt(x)}}\, dx=2(e^2-e)[/latex] Ответ:    [latex]\int\limits^4_1{\frac{e^\sqrt(x)}{\sqrt(x)}}\, dx=2(e^2-e)[/latex]   Примечание: почему я сначала брал неопределенный интеграл? Потому что при любой замене в определенном интеграле необходимо пересчитывать пределы интегрирования. Но поскольку мы пользуемся формулой Ньютона-Лебница в которой нам нужно найти именно первообразную, то можно воспользоваться и неопеределенным интегралом, чтобы ничего не пересчитывать.