Вычислить углы равнобедренного треугольника, в котором центр вписанной и описанной окружностей взаимно симметричны относительно оснований треугольника.

Введём обозначения: r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, а - сторона основания треугольника, в - боковая сторона треугольника, х - угол при основании треугольника. Известно, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а описанной - на пересечении срединных перпендикуляров. Имеем [latex]r= \frac{a}{2} *tg( \frac{x}{2} )= \frac{a*tg \frac{x}{2} }{2} [/latex]. Опустим перпендикуляры из центров окружностей на боковую сторону. Получим прямоугольную трапецию с основаниями r и R, вертикальная сторона равна (а/2) - (в/2), наклонная равна 2r (центры равно удаленны от основания). Острый угол трапеции равен углу х как взаимно перпендикулярный. Выразим сторону в через сторону а:  [latex]b= \frac{a}{2*cosx} [/latex]. Далее имеем [latex]sinx= \frac{ \frac{a-b}{2} }{2r} = \frac{a-b}{4r} [/latex]. Подставим в уравнение значения b и r, выраженные через а: [latex]sinx= \frac{a- \frac{a}{2cosx} }{ \frac{4a*tg \frac{x}{2} }{2} } = \frac{2cosx-1}{4cosx*tg \frac{x}{2} } [/latex]. Решение этого уравнения даёт один из корней: [latex]x=4( \pi n+ \frac{ \pi }{20} )[/latex]. Это соответствует х = 4*(180/20) = 4*9 = 36 градусов.