Вычислите [latex]cos \alpha [/latex] если [latex]sin( \frac{ \pi }{6} - \alpha )= \frac{2 \sqrt{2} }{3} \\ \frac{ \pi }{2} меньше \frac{ \pi }{6} - \alpha меньше \pi [/latex]

Так как [latex] \frac{ \pi }{2}< \frac{ \pi }{6} - \alpha < \pi, [/latex] то [latex] \frac{ \pi }{2}- \frac{ \pi }{6}< - \alpha < \pi- \frac{ \pi }{6}, \\ \frac{ 2\pi }{6}< - \alpha < \frac{5 \pi }{6}, \\ -\frac{ 5\pi }{6}< \alpha < - \frac{2 \pi }{6} [/latex] Угол α в четвертой четверти и косинус имеет знак + Применим формулу sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ [latex]sin( \frac{ \pi }{6}- \alpha)=sin \frac{ \pi }{6} \cdot cos \alpha - cos \frac{ \pi }{6} \cdot sin \alpha = \frac{cos \alpha }{2} - \frac{sin \alpha \sqrt{3} }{2} [/latex] Решаем уравнение [latex] \frac{cos \alpha }{2} - \frac{sin \alpha \sqrt{3} }{2} = \frac{2 \sqrt{2} }{3} [/latex] Умножаем на 6 и заменим синус и косинус по формуле половинного аргумента [latex]3cos \alpha -3 \sqrt{3}sin \alpha =4 \sqrt{2}, \\ 3(cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}-sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} )-6 \sqrt{3}sin \alpha\cdot cos \alpha =4 \sqrt{2} (cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}+sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} ) \\ [/latex] [latex]3(cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}-sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} )-6 \sqrt{3}sin \frac{ \alpha }{2} \cdot cos \frac{ \alpha }{2} =4 \sqrt{2} (cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}+sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} )[/latex] [latex](3-4 \sqrt{2}) cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}-6 \sqrt{3}sin \frac{ \alpha }{2} \cdot cos \frac{ \alpha }{2} -(3+4 \sqrt{2}) sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} =0[/latex] Однородное уравнение второй степени, делим на cos²(α/2) [latex] (3-4 \sqrt{2}) -6 \sqrt{3}tg \frac{ \alpha }{2} -(3+4 \sqrt{2})tg ^{2} \frac{ \alpha }{2} =0, \\(3+4 \sqrt{2})tg ^{2} \frac{ \alpha }{2} +6 \sqrt{3}tg \frac{ \alpha }{2} -(3-4 \sqrt{2})=0 \\ D=(6 \sqrt{3}) ^{2}+4(3+4 \sqrt{2})(3-4 \sqrt{2}) =108+4(9-32)=16[/latex] [latex]tg \frac{ \alpha }{2}= \frac{-6 \sqrt{3}-4 }{2(3+4 \sqrt{2}) } , \\ tg \frac{ \alpha }{2}= \frac{-6 \sqrt{3}+4 }{2(3+4 \sqrt{2}) } [/latex] [latex]cos \alpha = \frac{1-tg \frac{ \alpha }{2} ^{2} }{1+tg ^{2} \frac{ \alpha }{2} } [/latex] [latex]cos \alpha = \frac{4(3+4 \sqrt{2}) ^{2}-(6 \sqrt{3}+4) ^{2} }{4(3+4 \sqrt{2}) ^{2}+(6 \sqrt{3}+4) ^{2}}= \\ \frac{40+96 \sqrt{2} -48 \sqrt{3} }{288+96 \sqrt{2}+48 \sqrt{3} } [/latex] или [latex]cos \alpha = \frac{4(3+4 \sqrt{2}) ^{2}-(6 \sqrt{3}-4) ^{2} }{4(3+4 \sqrt{2}) ^{2}+(6 \sqrt{3}-4) ^{2}}= \\ \frac{40+96 \sqrt{2} +48 \sqrt{3} }{288+96 \sqrt{2}-48 \sqrt{3} } [/latex] 2 способ Неравенство относительно угла α, полученное в первом решении остается справедливым. Считая, что угол в 4 четверти находим решение уравнения [latex] \frac{ \pi }{6} - \alpha = \pi -arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3}+2 \pi k,k\in Z [/latex] Возьмём только одно значение [latex] \alpha =arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3}- \frac{5 \pi }{6} , \\ cos \alpha =cos(arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3}- \frac{5 \pi }{6})= \\ =cos(arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3})cos \frac{5 \pi }{6}+sin(arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3})sin \frac{5 \pi }{6} = \\ =- \frac{1}{3}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{2 \sqrt{2} }{3}\cdot \frac{1}{2}= \frac{2 \sqrt{2}-3 }{6} [/latex]