Высота правильной четырехугольной пирамиды равна H, а боковое ребро составляет с основанием угол a. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

[latex]SABCD-[/latex] правильная четырехугольная пирамида [latex]SO-[/latex] высота [latex]SO=H[/latex] [latex]\ \textless \ SCO= \alpha [/latex] [latex]S_{nol}-[/latex] ? [latex]SABCD-[/latex] правильная четырехугольная пирамида  ⇒ [latex]ABCD-[/latex] квадрат [latex]AB=BC=CD=AD[/latex] [latex]AC[/latex] ∩ [latex]BD=O[/latex] [latex]SO[/latex] ⊥ [latex](ABC)[/latex] Δ [latex]SOC-[/latex] прямоугольный [latex] \frac{SO}{OC} =tg\ \textless \ SCO[/latex] [latex] \frac{H}{OC} =tg \alpha [/latex] [latex]OC= \frac{H}{tg \alpha } [/latex] [latex]OC= \frac{1}{2} AC[/latex] [latex]AC=2OC[/latex] [latex]AC=2* \frac{H}{tg \alpha } = \frac{2H}{tg \alpha } [/latex] [latex]d=a \sqrt{2} [/latex] [latex]AC=AD \sqrt{2} [/latex] [latex]AD= \frac{AC}{ \sqrt{2} } [/latex] [latex]AD= \frac{ \frac{2H}{tg \alpha } }{ \sqrt{2} } = \frac{2H}{tg \alpha }* \frac{1}{ \sqrt{2}} = \frac{ \sqrt{2}H }{tg \alpha } [/latex] [latex]S_{ABCD}=AD^2[/latex] [latex]S_{ABCD}=( \frac{ \sqrt{2} H}{tg \alpha })^2 = \frac{2H^2}{tg^2 \alpha } [/latex] [latex]S_{bok}= \frac{1}{2}P_{ABCD}*L [/latex]  (L - длина апофемы ) [latex]P_{ABCD}=4*AD[/latex] [latex]P_{ABCD}=4* \frac{ \sqrt{2} H}{tg \alpha }= \frac{4 \sqrt{2}H }{tg \alpha } [/latex] Δ [latex]SOK-[/latex] прямоугольный [latex]OK= \frac{1}{2} AD[/latex] [latex]OK= \frac{1}{2}*\frac{ \sqrt{2}H }{tg \alpha } =\frac{ \sqrt{2}H }{2tg \alpha } [/latex] По теореме Пифагора найдем SK: [latex]SK^2=SO^2+OK^2[/latex] [latex]SK= \sqrt{SO^2+OK^2} = \sqrt{H^2+ \frac{2H^2}{4tg^2 \alpha } }= \sqrt{ \frac{4H^2*tg^2 \alpha +2H^2}{4tg^2 \alpha } } = [/latex][latex]=\frac{H}{2tg \alpha } * \sqrt{4tg^2 \alpha +2} [/latex] [latex]S_{bok}= \frac{1}{2}* \frac{4 \sqrt{2}H }{tg \alpha } * \frac{H}{2tg \alpha } * \sqrt{4tg^2 \alpha +2} = \frac{ \sqrt{2}H^2* \sqrt{2} * \sqrt{2tg^2 \alpha +1} }{tg^2 \alpha } =[/latex] [latex]\frac{2H^2 \sqrt{2tg^2 \alpha+1} }{tg^2 \alpha } [/latex] [latex]S_{nol}=S_{bok}+S_{ABCD}[/latex] [latex]S_{nol}= \frac{2H^2 \sqrt{2tg^2 \alpha+1} }{tg^2 \alpha } + \frac{2H^2}{tg^2 \alpha }= \frac{2H^2+2H^2 \sqrt{2tg^2 \alpha+1} }{tg^2 \alpha } [/latex] Ответ: [latex] \frac{2H^2+2H^2 \sqrt{2tg^2 \alpha+1} }{tg^2 \alpha }[/latex]