Высота правильной треугольной пирамиды равна h, двугранный угол при основании равен α. Найти объемы пирамиды и вписанного в пирамиду шара. (Можно решить задачу для h = 3, α = 60.)

Из прямоугольного треугольника, катеты которого — высота пирамиды h и высота основания пирамиды с а гипотенуза — апофема L, найдем: 1) высота основания с=h/tg α=3/tg 60=3/√3=√3, 2) апофема L=h/sin α=3/sin 60=2√3 Сторона основания (равностороннего треугольника): а=2с/√3=2√3/√3=2 Площадь основания So=са/2=2√3/2=√3 Объем пирамиды Vп=So*h/3=√3*3/3=√3 Нам еще понадобится периметр основания Р=3а=3*2=6 Найдем радиус вписанного шара через объем пирамиды и ее полную поверхность: R=3Vп/Sполн Sполн=Sбок+Sо=PL/2+Sо=6*2√3/2+√3=7√3 R=3*√3/7√3=3/7 Объем шара V=4πR³/3=4π*(3/7)³/3=36π/343