Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с площадями 9 и 36. Найдите гипотенузу данного треугольника

Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему подобные (и между собой, конечно, подобные). Если высота к гипотенузе с равна h, катеты a и b, соответствующие им отрезки гипотенузы (проекции катетов на гипотенузу) равны x и y, то из этого подобия следуют таких два соотношения (второе в решении не пригодится, но может пригодиться при проверке ответа) 1. x/h = h/y; => h^2 = x*y; 2. x/a = h/b; => x/y = (a/b)^2; (надо просто подставить h = √(x*y)) Площади треугольников равны 9 и 36; h*x/2 = 9; h*y/2 = 36; => y = 4*x; => h = √(x*y) = 2*x;  В силу упомянутого подобия у всех трех треугольников больший катет в два раза больше меньшего (то же самое следует из второго доказанного равенства x/y = (a/b)^2;). Далее,  из h*x/2 = 9; и h = 2*x; получается x^2 = 9; x = 3; y = 12; c = x + y = 15;