,Высота треугольника разбивает его основание на 2 отрезка с длинами 8,9. Найти длину  высоты, если известно, что другая высота делит ее пополам)

Если построить окружность на стороне АВ, как на диаметре, то основания высот М и Н будут лежать на ней. Из этого следует соотношение (см чертеж) (x + y)*x = 9*(9 + 8); (я намеренно буду тащить это в таком виде до конца, как ни странно, это упрощает вычисления). Из подобия прямоугольных треугольников ВОМ и ВНС (x + y)/h = (h/2)/y; (x + y)*y = h^2/2; Складываем эти 2 равенства, получаем x^2 + x*y + x*y + y^2 = h^2/2 + 9*(9 + 8); Из теоремы Пифагора h^2 + 9^2 = (x + y)^2; Поэтому h^2/2 + 9*(9 + 8) = h^2 + 9^2; h^2/2 = 9*8; h = 12.