Высоты треугольника равны m,n и p.Найдите радиус вписанной окружности.

 пусть стороны треугольника равны [latex]a;b;c[/latex]  опущенные к ним высота соответственно равны [latex]m;p;n[/latex].  Так как  площадь треугольника можно вычислить   [latex]cn=2pr\\ am=2pr\\ bp=2pr[/latex]   откуда  [latex]c=\frac{2pr}{n}\\ a=\frac{2pr}{m}\\ b=\frac{2pr}{p} [/latex]  то полупериметр    [latex]p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2pr(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p})}{2}\\ r(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p})=1\\ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p}=\frac{1}{r}[/latex]   откуда радиус   [latex]r=\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p}}=\frac{mnp}{mn+mp+np}[/latex]