|x^2 -2| меньше 4x+3 . Решение и в ответ записать наибольшее целое решение

[latex]|x^2 -2| \ \textless \ 4x+3[/latex] Неравенство вида [latex]|f(x)|\ \textless \ g(x)[/latex] сводится к двойному неравенству [latex]-g(x)\ \textless \ f(x)\ \textless \ g(x)[/latex] [latex]-(4x+3)\ \textless \ x^2 -2 \ \textless \ 4x+3[/latex] [latex]\left\{\begin{array}{l} -(4x+3)\ \textless \ x^2 -2 \\ x^2 -2 \ \textless \ 4x+3 \end{array}[/latex] [latex]\left\{\begin{array}{l} -4x-3\ \textless \ x^2 -2 \\ x^2 -2 \ \textless \ 4x+3 \end{array}[/latex] [latex]\left\{\begin{array}{l} x^2+4x +3-2\ \textgreater \ 0 \\ x^2 -4x-2-3 \ \textless \ 0 \end{array}[/latex] [latex]\left\{\begin{array}{l} x^2+4x +1\ \textgreater \ 0 \\ x^2 -4x-5 \ \textless \ 0 \end{array}[/latex] Решаем первое неравенство: [latex]x^2+4x +1\ \textgreater \ 0 \\\ x^2+4x +1=0 \\\ D_1=2^2-1\cdot1=3 \\\ x=-2\pm \sqrt{3}[/latex] Решением являются интервалы, расположенные левее меньшего и правее большего корня, так как решается неравенство >0, а парабола направлена ветвями вверх: [latex]x_1\in(-\infty;-2- \sqrt{3} )\cup(-2+ \sqrt{3} ;+\infty)[/latex] Решаем второе неравенство: [latex]x^2 -4x-5\ \textless \ 0 \\\ x^2 -4x-5=0 \\\ D_1=(-2)^2-1\cdot(-5)=9 \\\ x= 2\pm 3; \ x_1=-1; \ x_2=5[/latex] Решением является интервал, расположенный между корнями, так как решается неравенство <0, а парабола направлена ветвями вверх: [latex]x_2\in(-1;5)[/latex] Тогда, получим систему: [latex]\left\{\begin{array}{l} x_1\in(-\infty;-2- \sqrt{3} )\cup(-2+ \sqrt{3} ;+\infty) \\ x_2\in(-1;5) \end{array}[/latex] Так как решение системы должно удовлетворять обоим условиям, а интервал [latex](-\infty;-2- \sqrt{3} )[/latex] не удовлетворяет второму условию, то система упрощается: [latex]\left\{\begin{array}{l} x_1\in(-2+ \sqrt{3} ;+\infty) \\ x_2\in(-1;5) \end{array}[/latex] Сравним числа [latex]-2+ \sqrt{3}[/latex] и -1: [latex]-2+ \sqrt{3} \neq -1 \\\ -1+ \sqrt{3} \neq 0 \\\ \sqrt{3} -1 \neq 0 \\\ \sqrt{3} -1 \ \textgreater \ 0[/latex] Значит, [latex]-2+ \sqrt{3}\ \textgreater \ -1[/latex] и решение системы, а значит и исходного неравенства, выглядит следующим образом: [latex]x\in (\sqrt{3}-2;\ 5)[/latex] Так как неравенство строгое, то число 5 не входит в решение, а значит наибольшее целое решение неравенства - число 4. Ответы: решение неравенства: [latex]( \sqrt{3}-2; \ 5)[/latex] наибольшее целое решение: число 4

Обе части неравенства можно возвести в квадрат при условии, что 4x+3>0. (|x^2-2|)^2<(4x+3)^2 (x^2-2)^2-(4x+3)^2<0 (x^2-2-4x-3)(x^2-2+4x+3)<0 (x^2-4x-5)(x^2+4x+1)<0 Разложим первые скобки на множители: x^2-4x-5: D=(-4)^2-4*(-5)=36 x1,2=(4+-√36)/2=2+-3 x1=-1. x2=5 x^2-4x-5=(x+1)(x-5) Разложим вторые скобки на множители: x^2+4x+1: D=4^2-4*1=12 x1,2=(-4+-√12)/2=-2+-√3 x^2+4x+1=(x-(-2-√3))(x-(-2+√3)) Получим: (x+1)(x-5)(x-(-2-√3))(x-(-2+√3))<0 Отсортируем нули левой части неравенства: -2-√3, -1, √3-2, 5 Изобразим на прямой 0x эти точки и найдем решение: ------- -2-√3 ----- -1 ----------- √3-2 --------------------- 5 --------------->x   +                 -             +                       -                          + То есть подходит x∈(-2-√3;-1)∪(√3-2;5) Теперь учтем наложенное ранее ограничение: 4x+3>0 x>-3/4 Так как -1 < -3/4 и -3/4 < √3-2, то окончательным решением будет x∈(√3-2;5). Наибольшим целым решением является x=4.