X^2+(1/x^2)-x-(1/x)-4=0

[latex]x^2+\frac{1}{x^2}-x-\frac{1}{x}-4=0[/latex] ОДЗ: [latex]x^2 \neq 0; x \neq 0[/latex] [latex]x \neq 0[/latex] введем замену [latex]t=x+\frac{1}{x}; |t| \geq 2[/latex] (небольшое пояснение: если x>0; [latex]\frac{(x-1)^2}{x} \geq 0;[/latex] <=> [latex]\frac{x^2-2x+1}{x} \geq >0;[/latex] [latex]x+\frac{1}{x} \geq 2[/latex] аналогично если x<0: Получим [latex]x+\frac{1}{x} \leq -2[/latex] поєтому [latex]|x+\frac{1}{x}| \geq 2[/latex] [latex]t \geq 2[/latex]) тогда [latex]x^2+\frac{1}{x^2}=x^2+2+(\frac{1}{x})^2-2=x^2+2*x*\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2-2\\\\(x+\frac{1}{x})^2-2=t^2-2[/latex] [latex]x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2[/latex] перепишем уравнение [latex]t^2-2-t-4=0[/latex] [latex]t^2-t-6=0[/latex] [latex](t-3)(t+2)=0[/latex] [latex]t+2=0;t_1=-2[/latex] [latex]t-3=0;t_2=3[/latex] возвращаемся к замене [latex]x+\frac{1}{x}=-2[/latex] [latex]x^2+2x+1=0[/latex] [latex](x+1)^2=0[/latex] [latex]x_{1,2}=-1[/latex] [latex]x+\frac{1}{x}=3[/latex] [latex]x^2-3x+1=0[/latex] [latex]D=(-3)^2-4*1*1=9-4=5[/latex] [latex]x_{3,4}=\frac{3^+_-\sqrt{5}}{2}[/latex] ответ: -1 (или -1 кратности 2), [latex]\frac{3^+_-\sqrt{5}}{2}[/latex]