Y=x^4/x^4+1 ( от - бесконечности до + бесконечности

Упростим дробь, для чего разделим числитель на знаменатель. x^4/(x^4+1) = 1-1/(x^4+1). Анализируем полученную функцию на экстремумы, для чего нужно отыскать точки, где первая производная обращается в ноль. Находим производную функции: 4x^3/(x^4+1)^2. Она обращается в ноль в единственной точке х=0. Проверим, что достигается в этой точке - максимум, или минимум. Анлизируем знак второй производной при х=0. Находим вторую производную: -32x^6/(x^4+1)^3+12x^2/(x^4+1)^2 При х=0 вторая производная обращается в ноль, следовательно точка х=0 может и не быть точкой экстремума. Проанализируем поведение функции y=1-1/(x^4+1) в окрестности точки х=0 Вследствие четной степени х функция является четной, т.е. её значение не зависит от знака х. При х=0 значение функции равно 0. При х=1 значение функции равно 1/2. При х=2 значение функции равно 8/9 и.т.д. Т.е. мы видим, что с ростом х значение функции растет. При х, стремящемся к бесконечности, значение функции стремится к 1 (значение дроби 1/(х^4+1) стремится к нулю). Поэтому в точке х=0 мы имеем минимум. Максимум функции достигается при плюс и минус бесконечности., поэтому можно говорить, что функция максимума не имеет.