Задайте формулой квадратичную функцию, если: а) её график проходит через точки А(0;-2) и В(-2;4) и функция принимает значение -4 в единственной точке б) её значения при х=-1 и при х=2 совпадают, её наибольшее значение равно 3, ...

а) Ищем функцию вида [latex]y=ax^2+bx+c[/latex] Подставляем координаты точки (0; -2): [latex]-2=a\cdot0^2+b\cdot0+c \\\ c=-2[/latex] Тогда функция принимает вид [latex]y=ax^2+bx-2[/latex] Подставляем координаты точки (-2; 4)^ [latex]4=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)-2 \\\ 4a-2b-2=4 \\\ 4a-2b=6 \\\ 2a-b=3 \\\ b=2a-3[/latex] Зная, что значение -4 принимается в единственной точке, можно потребовать чтобы уравнение  [latex]ax^2+bx-2=-4[/latex] имело ровно один корень, то есть равный нулю дискриминант: [latex]ax^2+bx-2=-4 \\\ ax^2+bx+2=0 \\\ D=b^2-4\cdot2\cdot a=b^2-8a=0[/latex] Ранее мы получили, что b=2a-3: [latex](2a-3)^2-8a=0 \\\ 4a^2-12a+9-8a=0 \\\ 4a^2-20a+9=0 \\\ D_1=(-10)^2-4\cdot9=64 \\\ a_1= \frac{10+8}{4} =4.5 \Rightarrow b_2=2\cdot4.5-3=6 \\\ a_2= \frac{10-8}{4} =0.5 \Rightarrow b_2=2\cdot0.5-3=-2[/latex] Полученные функции: [latex]y_1=4.5x^2+6x-2 \\\ y_2=0.5x^2-2x-2[/latex] б) Ищем функцию вида [latex]y=ax^2+bx+c[/latex] Так как у(-1)=у(2), то: [latex]a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c=a\cdot2^2+b\cdot2+c \\\ a-b=4a+2b \\\ 3a=-3b \\\ a=-b \\\ [/latex] Подставляем координаты точки (1; 1)^ [latex]1=a\cdot1^2+b\cdot1+c \\\ a+b+c=1[/latex] Так как а=-b, то: [latex]-b+b+c=1 \\\ c=1[/latex] Тогда функция принимает вид [latex]y=ax^2+bx+1[/latex] Зная максимальное значение то что максимальное значение достигается в единственной точке - вершине параболы, составляем уравнение и требуем, чтобы оно имело ровно один корень: [latex]ax^2+bx+1=3 \\\ ax^2+bx-2=0 \\\ D=b^2-4\cdot(-2)\cdot a=b^2+8a=0[/latex] Зная, что а=-b, получим:  [latex]b^2-8b=0 \\\ b(b-8)=0 \\\ b_1=0 \Rightarrow a_1=0 \\\ b_2=8 \Rightarrow a_2=-8[/latex] Если а=0, то функция не квадратичная, этот вариант не берем в ответ. Полученная функция: [latex]y=-8x^2+8x+1[/latex]