Знайти площу фігури обмеженої графіками функції y=(x+1)^2, y^2=x+1

Находим пределы по оси х фигуры, ограниченной графиками функций y=(x+1)^2 и y^2=x+1. Для этого приравниваем: (x+1)^2 = (x+1)^(1/2). Возводим обе части уравнения в квадрат: (х+1)^4 = x+1, (х+1)^4 - x+1 = 0, (x+1)((x+1)^3 - 1) = 0. Отсюда имеем: х+1 = 0 х = -1. (x+1)^3 - 1)= 0. (x+1)^3 = 1. Извлечём корень кубический из обеих частей: х+1 = 1, х = 1 - 1 = 0. Найдены пределы фигуры: х = -1, х = 0. [latex] \int\limits^0_{-1} { \sqrt{x+1}-(x+1)^2 } \, dx = \frac{2}{3}(x+1)^ \frac{3}{2}- \frac{1}{3}(x+1)^3|_{-1}^0. [/latex] Подставив пределы интегрирования, получаем: [latex] S=(\frac{2}{3}(0+1)^{ \frac{3}{2}}- \frac{1}{3}(0+1)^3 )-( \frac{2}{3}(-1+1)^{ \frac{3}{2}}- \frac{1}{3}(-1+1)^3 )= [/latex] [latex]( \frac{2}{3}- \frac{1}{3})-(0-0)= \frac{1}{3}. [/latex]