Дипломная работа: Абстрактное отношение зависимости

Легко убедиться в независимости аксиом Z ₁ - Z ₃ ..

Модель 1 : . Полагаем Z = B (А) для любого множества .

Модель 2 : . Пусть Z = при .

Модель 3 :. Пусть Z = для бесконечного множества .

Определение 2.

Пространством зависимости назовем пару Z , где Z – отношение зависимости на A .

Определение 3.

Элемент называется зависимым от множества , если а Î X или существует такое независимое подмножество Y множества X , что зависимо, т.е. Z Z ).

Из определения 1 вытекает, что если элемент зависит от множества , то он зависит от некоторого конечного подмножества .

Определение 4.

Множество всех элементов, зависящих от X , называется оболочкой множества X и обозначается через .

Ясно, что и включение влечет включение их оболочек: .

Определение 5.

Если = A, то X называется порождающим множеством множества A .

Определение 6.

Н езависимое порождающее подмножество множества A называется базисом множества A .

Определение 7.

Множество зависит от , если любой элемент из зависит от , то есть .

Определение 8.

Отношение зависимости Z на A будем называть транзитивным отношением зависимости , если .

Определение 9.

Транзитивным пространством зависимости назовем пространство зависимости, в котором отношение зависимости обладает свойством транзитивности.

В качестве теоретико-множественного постулата будем использовать следующий принцип, эквивалентный известной аксиоме выбора.

Лемма Цорна .

Непустое упорядоченное множество, в котором каждое линейно упорядоченное подмножество обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент.

Далее целесообразно рассмотреть некоторые примеры отношения зависимости:

Пример 1.

Понятие линейной зависимости в векторном пространстве V над полем . Система векторов векторного пространства V называется линейно зависимой , если существует конечная линейно зависимая ее подсистема, в противном случае – линейно независимой .

Понятие линейной зависимости в конечномерных векторных пространствах дается в курсе алгебры. Конечная система векторов V называется линейно зависимой , если существуют элементы поля одновременно не равные нулю и такие, что линейная комбинация. Множество линейных комбинаций множества векторов векторного пространства V с коэффициентами из поля P называется линейной оболочкой этих векторов и обозначается . При этом - является подпространством в пространстве V , порожденным . Получаем транзитивное отношение зависимости.