Дипломная работа: Абстрактное отношение зависимости

Пусть поле является расширением основного поля Р, а минимальное подкольцо содержащее элементы и поле Р . Подкольцо состоит из всех элементов поля , которые выражаются через элементы и элементы поля Р при помощи сложения, вычитания и умножения: это будут всевозможные многочлены от с коэффициентами из поля Р . Тогда, если для всякого элемента существует единственная запись в виде многочлена от как неизвестных с коэффициентами из поля Р, то есть если различные многочлены от будут различными элементами подкольца , то система элементов , будет называться алгебраически независимой над полем Р, в противном случае алгебраически зависимой . Произвольное множество элементов поля Р называется зависимым , если оно содержит конечное зависимое подмножество. В первом случае кольцо изоморфно кольцу многочленов . Отношение алгебраической зависимости над полем Р является транзитивным отношением зависимости.

Пример 3.

Пусть на множестве A задано рефлексивное и симметричное бинарное отношение (называемое отношением сходства). Подмножество X множества A будем считать зависимым , если оно содержит два различных элемента, находящихся в отношении .

Оболочкой множества служит множество

В этом случае можно усилить аксиому отношения зависимости следующим образом:

Z Z .

Тогда оболочкой множества будет множество всех элементов, находящихся в отношении сходства хотя бы с одним элементом из множества .

Введенное отношение зависимости будет транзитивным тогда и только тогда, когда соответствующее бинарное отношение будет транзитивно, то есть является отношением эквивалентности на .

В случае, когда - отношение эквивалентности будет независимым тогда и только тогда, когда множество содержит не более одного элемента. Любое максимальное независимое подмножество будет содержать ровно по одному элементу из каждого класса эквивалентности .

Пример 4.

Рассмотрим четырехэлементное множество .

Назовем подмножество множества зависимым тогда и только тогда, когда или .

Z .

Рассмотрим подмножество множества , по введенному определению оно будет независимо. Рассмотрим оболочку множества и найдем оболочку оболочки нашего множества . Таким образом, мы получили , то есть рассмотренное нами отношение зависимости не является транзитивным.

Пример 5.

Рассмотрим произвольное множество и . Множество будем считать зависимым , если B (А)\ B (В), то есть , но . Таким образом, получили следующее транзитивное пространство зависимости: B (А)\ B (В. Оболочкой будет множество .

В частности можно рассмотреть 2 случая:

1. , то есть все множества независимы, тогда .

2. B (А), то есть все множества, кроме пустого, будут зависимыми, в этом случае .

Пример 6.

Рассмотрим произвольное множество и его непустое конечное подмножество . Введем на множестве А следующее отношение зависимости

Z B (А).

Таким образом, зависимыми будут все надмножества множества .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Получаем транзитивное пространство зависимости.

Пример 7.

Подпространство пространства зависимости Z . Рассмотрим , где действует то же отношение зависимости Z . Тогда получим индуцированное пространство зависимости Z B . В этом случае зависимыми будут только те подмножества множества , которые были зависимы в пространстве Z . И если пространство Z транзитивно, то транзитивным будет и подпространство .

Пример 8.

Пусть и Z = . Такое пространство зависимости Z не транзитивно, так как и . Пространство А имеет два базиса и , которые являются и единственными минимальными порождающими множествами в .