Дипломная работа: Абстрактное отношение зависимости

Доказательство:

Рассмотрим систему J таких независимых подмножеств Z множества A , что .

Так как X независимо, то такие множества существуют; кроме того, если — некоторое линейно упорядоченное множество множеств из J, то его объединение снова принадлежит J, поскольку Z удовлетворяет условию , и если Z зависимо, то некоторое конечное подмножество множества Z должно было бы быть зависимым; это подмножество содержалось бы в некотором множестве в противоречии с тем фактом, что все независимы.

По лемме Цорна J имеет максимальный элемент М; в силу максимальности каждый элемент множества Y либо принадлежит М, либо зависит от М, откуда . Этим доказано, что М — базис в A . Так как , то М имеет вид , где удовлетворяет условиям .■

Определение 11.

Пространство зависимости Z называется конечномерным, если любое его независимое множество конечно.

Теорема 3 .

Пусть Z - транзитивное пространство зависимости. Тогда любые два базиса в этом пространстве равномощны.

Доказательство:

Рассмотрим сначала случай конечномерного пространства .

Пусть В, С — любые два базиса в А , их существование обеспечивается теоремой 2, и , , , где различные элементы обозначены различными буквами или снабжены различными индексами. Применим индукцию по max ( r , s ).

Если r = 0 или s = 0 , то или , и . Поэтому можно предполагать, что r ≥ 1, s ≥ 1 , без ограничения общности будем считать, что r > s , так что на самом деле r > 1 .

Предположим, что базисы будут равномощными для любого t < r

По лемме о замене множество можно дополнить до базиса D элементами базиса С , скажем

, t ≤ s < r.

Теперь пересечение D c В состоит из n + 1 элемента, и D содержит, кроме того, еще t (< r) элементов, тогда как В содержит, кроме этого пересечения, еще r - 1 элементов, так что по предположению индукции , то есть .

Поскольку r > 1 , отсюда вытекает, что t ≥ 1 , и поэтому пересечение D с С содержит не меньше чем n+1 элементов. Используя еще раз предположение индукции, находим, что и, следовательно, r = s и базисы В и С равномощны.

Далее, пусть В - конечный базис в . Тогда и любой другой базис С пространства будет конечным. Действительно, В выражается через конечное множество элементов в силу транзитивности будет порождающим и независимым множеством в , то есть .

Наконец, если базисы В и С бесконечны. Каждый элемент из В зависит от некоторого конечного подмножества базиса С , и наоборот. Мощность множества всех конечных подмножеств всякого бесконечного множества равна мощности самого множества. Поэтому мощности В и С совпадают.■

Теорема 4 .

Пусть Z - произвольное пространство зависимости, тогда следующие условия эквивалентны

(i) Z транзитивно;

(ii) для любого конечного ;

(iii) конечных и Z

Z ;

(iv) для любого конечного .

Доказательство:

( i ) ( ii ) Справедливо по теореме 3 и примеру 7.

( ii ) ( iii ) Возьмем , так что - независимы и . Допустим, что утверждение Z неверно. Тогда Z . Рассмотрим . Имеем . Но Z , поэтому Z . По (ii) имеем. Но - противоречие.