Если написано уравнение (1.1), то всегда предполагается, что требуется его решить, найти такие числовые значения для неизвестного x , которые удовлетворяют этому уравнению, то есть после подстановки вместо неизвестного и выполнения всех указанных операций обращают левую часть уравнения (1.1) в нуль.

Целесообразно заменить задачу решения уравнения (1.1) более общей задачей изучения левой части этого уравнения

, (1.2)

называемой многочленом n -ной степени от неизвестного х . Многочленом называется лишь выражение вида (1.2), то есть лишь сумма целых неотрицательных степеней неизвестного x , взятых с некоторыми числовыми коэффициентами. В частности, мы не будем считать многочленами такие выражения, которые содержат неизвестное x с отрицательными или дробными показателями. Для сокращенной записи многочленов употребляются символы f ( x ), g ( x ) и так далее.

2. Деление многочленов

Теория многочленов в определенном отношении похожа на теорию целых чисел, хотя внешне эти две теории не имеют ничего общего. Внутренняя же близость, схожесть этих теорий объясняется тем, что для многочленов, так же как и для целых чисел, можно определить деление и, что еще более важно, деление с остатком.

2.1. Делимость многочленов. Свойства делимости

Многочлен делится на многочлен , если существует такой многочлен , что выполняется равенство

(2.1)

Например, из равенства следует, что делится на многочлен и на многочлен .

Многочлен в равенстве (2.1) определяется однозначно. Если бы существовал многочлен , удовлетворяющий равенству (2.1), то мы получили бы, что

(2.2)

откуда

Но многочлен по условию ненулевой, и в силу утверждения или нулевом является многочлен , т.е. многочлен совпадает с .

Многочлен в равенстве (2.1) называется частным от деления на , а – делителем.

Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов.

1 . Если делится , а делится на , то будет делиться на .

В самом деле, по условию и , а поэтому .

2 . Если и делятся на , то их сумма и разность также делятся на .

Из равенств и вытекает .

3 .Если делится на , то произведение на любой многочлен также будет делиться на .

Если , то .

Из 2. и 3. вытекает следующее свойство:

4 . Если каждый из многочленов делится на , то на будет делиться и многочлен , где - произвольные многочлены.

5 . Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени.

Если , а с - произвольное число, не равное нулю, то есть произвольный многочлен нулевой степени, то .

6 . Если делится на , то делится и на с , где с – произвольное число отличное от нуля.

Из равенства следует равенство .

7 . Многочлены , , и только они будут делителями многочлена , имеющими такую же степень, что и .

Действительно, . То есть делится на .

Если делится на , причем степени и совпадают, то степень частного от деления на должна быть равной нулю, то есть , , откуда .