Дипломная работа: Анализ и обеспечение надежности технических систем

Рис 1.3. Схема представления ЛФР

Из схемы на рис 1.2. видно, что ЛФР системы представляет дизъюнкцию ЛФР шести путей электропитания (в индексе пути использованы только номера узлов структурной схемы):

Z = Z_1-2-6 + Z_1-2-3-7 + Z_1-2-3-4-8 + Z_5-4-8 + Z_5-4-3-7 + Z_5-4-3-2-6 (1.13)

Раскрывая ЛФР правой части (1.13), получим:

Z = (x₁ x₁₂ x₂ x₂₆ x₆ )+(x₁ x₁₂ x₂ x₂₃ x₃ x₃₇ x₇ )+(x₁ x₁₂ x₂ x₂₃ x₃ x₃₄ x₄ x₄₈ x₈ )+ +(x₅ x₄₅ x₄ x₄₈ x₈ )+( x₅ x₄₅ x₄ x₃₄ x₃ x₃₇ x₇ )+( x₅ x₄₅ x₄ x₃₄ x₃ x₂₃ x₂ x₂₆ x₆ ).

Упростим данное выражение, учитывая, что x₂ =1, x₃ =1, x₄ =1

Z = (x₁ x₁₂ x₂₆ x₆ )+(x₁ x₁₂ x₂₃ x₃₇ x₇ )+(x₁ x₁₂ x₂₃ x₃₄ x₄₈ x₈ )+(x₅ x₄₅ x₄₈ x₈ )+

+( x₅ x₄₅ x₃₄ x₃₇ x₇ )+( x₅ x₄₅ x₃₄ x₂₃ x₂₆ x₆ )=Z_1-2 ·(Z_2-6 + Z_2-7 + Z_2-8 ) + Z_5-4 ·(Z_4-8 + +Z_4-7 + Z_4-6 ) (1.14)

Структурная схема представления ЛФР в форме (1.14) показана на рисунке 1.3.

Раскроем выражения составляющих ЛФР в формуле (1.7) P(Z = 1), для ее конкретного представления (1.13) - (1.14) и заданного экспоненциального закона распределения:

· Для блоков последовательных элементов на рис. 1.3:

P(Z_1-2 =1 ) = P(x₁ =1)·P( x₁₂ =1) = p_1-2 =e^-(λ ₁ ^+λ ₁₂ ^)t ,

P(Z_5-4 =1 ) = P(x₅ =1)·P( x₄₅ =1) = p_5-4 = e^-(λ ₅ ^+λ ₄₅ ^)t

· Для блоков параллельных элементов на рис. 1.3:

P(Z_2-6 =1 )= P( ₂₆ =1)·P(₆ =1) = q_2-6 = 1- e^{-( λ} ₆ ^{+ λ} ₂₆ ^{) t}

P(Z_2-7 =1 )= P( ₂₃ =1)·P(₃₇ =1) P(₇ =1) = q_2-7 =1- e^{-( λ} ₂₃ ^{+ λ} ₃₇ ^{+ λ} ₇ ^{) t}

P(Z_2-8 =1)=P(₂₃ =1)·P(₃₄ =1)P(₄₈ =1) P(₈ =1)=q_2-8 =1- e^{-( λ} ₂₃ ^{+ λ} ₃₄ ^{+ λ} ₄₈ ^{+ λ} ₈ ^{) t}

P(Z_4-8 =1 )= P( ₄₈ =1)·P(₈ =1) = q_4-8 = 1 - e^{-( λ} ₈ ^{+ λ} ₄₈ ^{) t}

P(Z_4-7 =1 )= P( ₃₄ =1)·P(₃₇ =1) P(₇ =1) = q_4-7 = 1- e^{-( λ} ₃₄ ^{+ λ} ₃₇ ^{+ λ} ₇ ^{) t}

P(Z_4-6 =1 )= P(₃₄ =1)·P(₂₃ =1)P(₂₆ =1)P(₆ =1)=q_4-6 =1-e^{-( λ} ₂₃ ^{+ λ} ₃₄ ^{+ λ} ₂₆ ^{+ λ} ₆ ^{) t}

Введем промежуточные обозначения:

p_2-6-7-8 = 1-q_2-6-7-8 = 1- q_2-6 ∙ q_2-7 q_2-8 - ВБР блока параллельных элементов Z_2-6 + Z_2-7 + Z_2-8 ,

p_4-8-7-6 = 1-q_4-8-7-6 = 1- q_4-8 ∙ q_4-7 q_4-6 - ВБР блока параллельных элементов Z_4-8 + Z_4-7 + Z_4-6

q_1* = 1 - p_1-2 ∙p_2-6-7-8 - ВО питания на пути от узла №1 на схеме замещения,

q_4* = 1 – p_4-5 ∙p_4-8-7-6 - ВО питания на пути от узла №2 на схеме замещения и запишем окончательно:

Q= q_1* ∙ q_4* ; k_Г (t) = P(Z = 1) = 1 – Q. (1.15)

Расчеты, выполненные по полученным формулам, приведены в таблице 1.4. Данные таблицы характеризуют изменение составляющих ЛФР на заданном периоде предстоящей эксплуатации (L = 2 года) с поквартальной разбивкой. На рисунке 1.4. показаны графики изменения трех основных показателей надежности данной системы: q_1* ∙(t), q_4* (t), k_Г (t), построенные по данным табл.1.4. Такой вид изменения показателей во времени типичен для экспоненциального закона распределения.

Таблица 1.4 Расчет показателей надежности на двухлетний период эксплуатации (прогноз)

Формула Z(*)	∑ λ	1-й год				2-й год
		0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2
p1-2 = e-(λ 1 +λ 12 )t	0,5805	0,864914	0,748077	0,647022	0,559618	0,484022	0,418637	0,362085	0,313173
p5-4 = e-(λ 5 +λ 45 )t	0,642	0,851718	0,725423	0,617856	0,526239	0,448207	0,381746	0,32514	0,276927
q2-6 = 1- e-(λ 6 +λ 26 )t	0,023	0,005734	0,011434	0,017102	0,022738	0,028341	0,033912	0,039451	0,044958
q2-7 =1- e-(λ 23 +λ 37 +λ 7 )t	0,265	0,064103	0,124097	0,180245	0,232794	0,281974	0,328002	0,371079	0,411395
q2-8 = 1- e-(λ 23 +λ 34 +λ 48 +λ 8 )t	0,223	0,054224	0,105509	0,154012	0,199885	0,243271	0,284304	0,323112	0,359816
q4-8 = 1- e-(λ 8 +λ 48 )t	0,023	0,005734	0,011434	0,017102	0,022738	0,028341	0,033912	0,039451	0,044958
q4-7 = 1- e-(λ 34 +λ 37 +λ 7 )t	0,261	0,063167	0,122344	0,177782	0,229719	0,278375	0,323958	0,366661	0,406667
q4-6 = 1- e-(λ 23 +λ 34 +λ 48 +λ 6 )	0,223	0,054224	0,105509	0,154012	0,199885	0,243271	0,284304	0,323112	0,359816
p2-6-7-8 = 1- q2-6 ∙ q2-7 ∙ q2-8	0,99998	0,99985	0,999525	0,998942	0,998056	0,996838	0,99527	0,993345
p4-8-7-6 =1- q4-8 ∙ q4-7 ∙ q4-6	0,99998	0,999852	0,999532	0,998956	0,998081	0,996877	0,995326	0,993421
q1* = 1 - p1-2 ∙p2-6-7-8	0,135103	0,252035	0,353285	0,440974	0,516919	0,582686	0,639627	0,688911
q4* = 1 – p4-5 ∙p4-8-7-6	0,148299	0,274684	0,382433	0,474311	0,552653	0,619446	0,67638	0,724894
kГ (t)= 1 – q1* ∙ q4*	0,979964	0,93077	0,864892	0,790842	0,714323	0,639057	0,567369	0,500612