4. Следующий период развития теории вероятностей связан, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. Здесь можно назвать такие имена, как Чебышев П.Л., Марков А.А., Ляпунов А.М. В этот период распространение закона больших чисел и центральной предельной теоремы на различные классы случайных величин достигает своих естественных границ. Законы теории вероятностей стали применяться к зависимым случайным величинам. Всё это дало возможность приложить теорию вероятностей ко многим разделам естествознания, в первую очередь – к физике. Возникает статистическая физика, которая развивается во взаимосвязи с теорией вероятностей.

5. Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики. Этого в первую очередь требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей к физике, биологии и другим областям науки, а также к технике и военному делу необходимо было уточнить и привести в стройную систему её основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с теорией множеств, а через неё-с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей, начиная от хозяйственно – прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими вопросами кибернетики. Первые работы этого периода связаны с именами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы XX в., когда была опубликована, и получила всеобщее признание аксиоматика А.Н. Колмогорова.

В последние время наметились новые подходы к основным понятиям теории вероятностей. Об этом свидетельствует появление теории надёжности, теории информации, теории массового обслуживания и т.п.

Мы же рассмотрим динамику развития определения понятия вероятности; такого понятия в теории вероятностей, как математическое ожидание, а также известного закона больших чисел.

Проследив развитие этих понятий от простейших представлений до законченных и обдуманных их форм, мы сможем глубже понять их смысл, что, несомненно, важно с методической точки зрения.

1. Динамика развития понятия вероятности

1.1 Первые попытки введения понятия вероятности

Рассмотрим, как развивалось понятие вероятности.

Д. Кардано (1501–1576 гг.) в своей работе «Книги об игре в кости» вплотную подошёл к определению понятия вероятности через отношение равновозможных событий [1].

«Итак, имеется одно общее правило для расчёта: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, какими могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможностей выпадений; приблизительно в такой же пропорции определяются относительные размеры ставок для того, чтобы игра шла на равных условиях».

Кардано в этом отрывке говорит, что если возможное число испытаний равно n , а число благоприятных испытаний – m , то ставки должны быть в отношении (речь идёт о разделении ставки, т.к. учёных того времени очень волновал этот вопрос, многие из них пытались решать эту задачу).

В работах Л. Пачоли, Н. Тарталья делается попытка выделить новое понятие вероятности – отношение шансов – при решении ряда специфических задач, прежде всего комбинаторных.

Надо отметить, что понятием вероятностиактивно пользовались учёные того времени, не определяя его а понимая его интуитивно. Паскаль и Ферма в письмах друг другу использовали понятие вероятности в скрытой форме, не обликая его в конкретное определение.

Гюйгенс (1629–1695 гг.) в своей книге «О расчётах в азартных играх» выделил понятие «шанс», которое по существу, есть ещё не очень осознанное понятие вероятности [2]. Во введении Гюйгенс пишет: «Хотя в играх, основанных на чистом случае, результаты являются неизвестными, однако шанс игрока на выигрыш, или на проигрыш имеет определённую стоимость. Например, если кто-нибудь держит пари, что он выбросит при первом бросании одной кости шесть очков, то неизвестно, выиграет ли он или проиграет, но что является определённым и поддающимся исчислению это то, насколько его шансы проиграть пари превосходят его шансы на выигрыш пари».

Т. Байес (1702–1761 гг.) в своей работе, опубликованной в «Философских трудах» за 1763 г. Р. Прайсом под названием «Опыт решения задачи по теории вероятностей покойного достопочтенного мистера Байеса, члена Королевского общества, сообщено мистером Прайсом в письмах Джону Кентону, магистру искусств, члену Королевского общества» ввёл наряду с другими определениями и определение понятия вероятности. Байес формулирует следующие определения.

1. Несколько событий являются несовместимыми, если наступление одного из них исключает наступление остальных.

2. События являются исключающими друг друга, если одно из них должно наступить, но оба одновременно наступить не могут.

3. Говорят, что событие не состоялось, если оно не наступает или, если наступает исключающее событие.

4. Говорят, что событие определено, если оно наступило или не наступило.

5. Вероятность какого-нибудь события есть отношение значения, которое даётся ожиданию, связанному с наступлением события, и значения ожидаемой в этом случае прибыли.

6. Под шансом я понимаю то же самое, что и под вероятностью.

7. События являются независимыми, если наступление одного не уменьшает и не увеличивает вероятности остальных [1,2].

Некоторые из этих определений, например 1 и 7, почти полностью совпадают с современными. Определение же вероятности не отличается ясностью, возможно потому, что в формулировке используется неопределённое понятие: «значение ожидания, связанного с наступлением события».

Во втором разделе своей работы Байес пользуется геометрическим определением вероятности в его современном смысле (не определяя его), решая задачу о бросании шара W на квадратную доску ABCD

На AB берутся две любые точки f и b и через них C F s L D проводятся линии, параллельные AD до пересечения с CD в точках F и L . После этого Байес формулирует следующую лемму.

Лемма.

Вероятность того, что точка O (точка остановки OOшара) будет находиться между двумя какими-нибудь точками линии AB , есть отношение расстояния между двумя точками ко всей линии AB .

Другими словами, вероятность того, что шар, брошенный случайным образом на ABCD , остановится в прямоугольнике bfFL , равна . Аналогично мы вычисляем геометрическим способом вероятность и сейчас, как отношение мер.

P(A)=, () – вероятностное пространство,

–класс или семейство подмножеств в ,