Дипломная работа: Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей

2.2 Введение понятия математического ожидания и его дальнейшее развитие

Обратимся к работе Х. Гюйгенса «О расчёте в азартных играх». Книга состоит из введения и 14 предложений. Рассмотрим первые три предложения [1].

Предложение 1: «Если я имею равные шансы получения a или b , то это мне стоит «.

Предложение 2: «Если я имею равные шансы на получение a , b или c , то это мне стоит столько же, как если бы я имел .

Предложение 3: «Если число случаев, в которых получается сумма a , равно p и число случаев, в которых получается сумма b , равно q , и все случаи одинаково легко могут произойти, то стоимость моего ожидания равна .

По существу Гюйгенс здесь так определяет математическое ожидание. Он фактически впервые вводит понятие математического ожидания и использует его. Математическое ожидание является обобщением понятия средней арифметической. Средняя арифметическая широко применялась в торговле и промышленности для определения средних цен, средней прибыли и т.п.

Терминология Гюйгенса в теории вероятностей несёт на себе отпечаток коммерческой терминологии. Он считает, что математическое ожидание – это цена шанса на выигрыш в безобидной игре и приходит к выводу, что справедливая цена – есть средняя цена. Он вычисляет «за какую справедливую цену я мог бы уступить своё место в игре другому». Сам Гюйгенс не называет математическое ожидание ожиданием, оно у него фигурирует как стоимость шанса. Впервые термин «ожидание» появляется в переводе работы Гюйгенса Францем ван Схоутеном.

Работа Х. Гюйгенса оказала большое влияние на Я. Бернулли. К предложениям 1, 2 и 3 Гюйгенса Бернулли делает обширное примечание.

«Автор этого трактата излагает …в этом и двух следующих предложениях основной принцип искусства предположений. Так как очень важно, чтобы этот принцип был хорошо понят, то я попытаюсь доказать его при помощи исчислений более обычных и более доступных всем, исходя исключительно из той аксиомы, или определения, что каждый должен ожидать или предполагает ожидать столько сколько он неминуемо получит.

Слово «ожидание» здесь не должно пониматься в его обычном смысле, согласно которому «ожидать» или «надеяться» относится к событию наиболее благоприятному, хотя может произойти наихудшее для нас; нужно понимать под этим словом надежду, которую мы имеем на получение лучшего, уменьшенную страхом худшего. Так что стоимость нашего ожидания всегда означает нечто среднее между лучшим, на что мы надеемся, и худшим, чего мы боимся…»

После рассмотрения предложения 3 Бернулли отмечает следующее: «Из рассмотрения …очевидно, что имеется большое сходство с правилом, называемым в арифметике правилом товарищества, которое состоит в нахождении цены смеси, составленной из определённых количеств различных вещей с различной ценой. Или, скорее, что вычисления являются абсолютно одинаковыми. Так, подобно тому, как сумма произведений количеств смешиваемых веществ на их соответственные цены, разделённая на сумму веществ, даёт искомую цену, которая всегда находится между крайними ценами, также сумма произведений случаев на соответственно приносимые ими выгоды, разделённая на число всех случаев, указывает стоимость ожидания, которая вследствие этого всегда является «средней между наибольшей и наименьшей из этих выгод».

Это достаточно хорошее объяснение математического ожидания и его связи со взвешенной средней арифметической [1].

В середине и во второй половине XVIII в. многие учёные занимались вопросами связанными с теорией вероятностей. Прежде всего, это относится к математикам, из которых можно выделить Д. Бернулли (1700–1778 гг.). Наиболее известной работой Д. Бернулли по теории вероятностей является «Опыт новой теории меры случая» (1738 г.), в которой он вводит понятие морального ожидания [2]. Однако, несмотря на то, что в дальнейшем многие учёные разрабатывали это понятие оно не прижилось в теории вероятностей. Д. Бернулли вводит правило подсчёта математического ожидания, которое он называет основным правилом: «Значение ожидаемой величины получается путём умножения значений отдельных ожидаемых величин на число случаев, в которых они могут появиться, и последующего деления суммы произведений на сумму всех случаев, при этом требуется, чтобы рассматривались те слу?